インハーモニシティの作り方 (その15)
初めに xを 1から88まで変化させて yに代入します。...(1) (以下 計算式の番号です。)
y = x
その時の yは
y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...
次にオクターブ(12)で 1つ増加する様にします。...(2)
y = x / 12 y = 0.083, 0.167, 0.250, 0.333, 0.417, 0.500, 0.583, 0.667, 0.750, 0.833, 0.917, 1.000, 1.083...
yは12番目で1.0, 24番目で 2.0...の様に変化します。
それを 49番目で 0になる様にします。...(3)
y = (x - 49) / 12
(49 - 49)/12 = 0/12 = 0...となります。
y = -4.000, -3.917, -3.833, -3.750, -3.667, -3.583, -3.500, -3.417, -3.333, -3.250, -3.167, -3.083...
オクターブ(12)での変化量(傾き)を 2√2とします。...(4)
49番目は 2√2 ^ 0で 1.0、 61番目は (61 - 49)/12 = 12/12 = 1... 2√2 ^ 1で 2.8284...となります。
y = 0.016, 0.017, 0.019, 0.020, 0.022, 0.024, 0.026, 0.029, 0.031, 0.034, 0.037, 0.041, 0.044...
そして49番目の値を基準値として 0.55に設定します。...(5)
49番目は 1.0なので 1.0 x 0.55 = 0.55 となります。
y = 0.0086, 0.0094, 0.0102, 0.0111, 0.0122, 0.0133, 0.0145, 0.0158, 0.0172, 0.0187, 0.0204, 0.0223, 0.0243...
これで芯線の傾きが出来ました。
続いて巻線のマイナス(49 - x)の変化量を作ります。...(6)
キーが下がる程 値は増加します。
y = 35.200, 32.279, 29.600, 27.143, 24.890, 22.824, 20.930, 19.193, 17.600, 16.139, 14.800, 13.571, 12.445...
巻線の数を例えば 28と設定して 芯線から 28番目の値を取り出します。
x = 28 y = 0.0892
その値を巻線の 28番目の値として巻線の値を求めます。...(7)
(49から 28へと変更しています。)
y = 0.925, 0.848, 0.778, 0.713, 0.654, 0.600, 0.550, 0.462, 0.424, 0.389, 0.357, 0.327...
(2)から(7)までを表にしてみます。
#: Key: (2) : (3) : (4) : (5) : (6) : (7) ----------------------------------------------- 1: A: 0.083 -4.000 0.016 0.0086 35.200 0.925 2: B: 0.167 -3.917 0.017 0.0094 32.279 0.848 3: H: 0.250 -3.833 0.019 0.0102 29.600 0.778 4: C: 0.333 -3.750 0.020 0.0111 27.143 0.713 5: Cis: 0.417 -3.667 0.022 0.0122 24.890 0.654 6: D: 0.500 -3.583 0.024 0.0133 22.824 0.600 7: Es: 0.583 -3.500 0.026 0.0145 20.930 0.550 8: E: 0.667 -3.417 0.029 0.0158 19.193 0.504 9: F: 0.750 -3.333 0.031 0.0172 17.600 0.462 10: Fis: 0.833 -3.250 0.034 0.0187 16.139 0.424 11: G: 0.917 -3.167 0.037 0.0204 14.800 0.389 12: Gis: 1.000 -3.083 0.041 0.0223 13.571 0.357 13: A: 1.083 -3.000 0.044 0.0243 12.445 0.327 14: B: 1.167 -2.917 0.048 0.0265 11.412 0.300 15: H: 1.250 -2.833 0.053 0.0289 10.465 0.275 16: C: 1.333 -2.750 0.057 0.0315 9.596 0.252 17: Cis: 1.417 -2.667 0.062 0.0344 8.800 0.231 18: D: 1.500 -2.583 0.068 0.0375 8.070 0.212 19: Es: 1.583 -2.500 0.074 0.0409 7.400 0.194 20: E: 1.667 -2.417 0.081 0.0446 6.786 0.178 21: F: 1.750 -2.333 0.088 0.0486 6.223 0.164 22: Fis: 1.833 -2.250 0.096 0.0530 5.706 0.150 23: G: 1.917 -2.167 0.105 0.0578 5.233 0.137 24: Gis: 2.000 -2.083 0.115 0.0630 4.798 0.126 25: A: 2.083 -2.000 0.125 0.0687 4.400 0.116 26: B: 2.167 -1.917 0.136 0.0750 4.035 0.106 27: H: 2.250 -1.833 0.149 0.0818 3.700 0.097 28: C: 2.333 -1.750 0.162 0.0892 3.393 0.089 29: Cis: 2.417 -1.667 0.177 0.0972 3.111 0.082 30: D: 2.500 -1.583 0.193 0.1060 2.853 0.075 31: Es: 2.583 -1.500 0.210 0.1156 2.616 0.069 32: E: 2.667 -1.417 0.229 0.1261 2.399 0.063 33: F: 2.750 -1.333 0.250 0.1375 2.200 0.058 34: Fis: 2.833 -1.250 0.273 0.1499 2.017 0.053 35: G: 2.917 -1.167 0.297 0.1635 1.850 0.049 36: Gis: 3.000 -1.083 0.324 0.1783 1.696 0.045 37: A: 3.083 -1.000 0.354 0.1945 1.556 0.041 38: B: 3.167 -0.917 0.386 0.2121 1.427 0.037 39: H: 3.250 -0.833 0.420 0.2312 1.308 0.034 40: C: 3.333 -0.750 0.459 0.2522 1.200 0.032 41: Cis: 3.417 -0.667 0.500 0.2750 1.100 0.029 42: D: 3.500 -0.583 0.545 0.2999 1.009 0.027 43: Es: 3.583 -0.500 0.595 0.3270 0.925 0.024 44: E: 3.667 -0.417 0.648 0.3566 0.848 0.022 45: F: 3.750 -0.333 0.707 0.3889 0.778 0.020 46: Fis: 3.833 -0.250 0.771 0.4241 0.713 0.019 47: G: 3.917 -0.167 0.841 0.4625 0.654 0.017 48: Gis: 4.000 -0.083 0.917 0.5044 0.600 0.016 49: A: 4.083 0.000 1.000 0.5500 0.550 0.014 50: B: 4.167 0.083 1.091 0.5998 0.504 0.013 51: H: 4.250 0.167 1.189 0.6541 0.462 0.012 52: C: 4.333 0.250 1.297 0.7133 0.424 0.011 53: Cis: 4.417 0.333 1.414 0.7778 0.389 0.010 54: D: 4.500 0.417 1.542 0.8482 0.357 0.009 55: Es: 4.583 0.500 1.682 0.9250 0.327 0.009 56: E: 4.667 0.583 1.834 1.0087 0.300 0.008 57: F: 4.750 0.667 2.000 1.1000 0.275 0.007 58: Fis: 4.833 0.750 2.181 1.1996 0.252 0.007 59: G: 4.917 0.833 2.378 1.3081 0.231 0.006 60: Gis: 5.000 0.917 2.594 1.4265 0.212 0.006 61: A: 5.083 1.000 2.828 1.5556 0.194 0.005 62: B: 5.167 1.083 3.084 1.6964 0.178 0.005 63: H: 5.250 1.167 3.364 1.8500 0.164 0.004 64: C: 5.333 1.250 3.668 2.0174 0.150 0.004 65: Cis: 5.417 1.333 4.000 2.2000 0.138 0.004 66: D: 5.500 1.417 4.362 2.3991 0.126 0.003 67: Es: 5.583 1.500 4.757 2.6163 0.116 0.003 68: E: 5.667 1.583 5.187 2.8530 0.106 0.003 69: F: 5.750 1.667 5.657 3.1113 0.097 0.003 70: Fis: 5.833 1.750 6.169 3.3929 0.089 0.002 71: G: 5.917 1.833 6.727 3.6999 0.082 0.002 72: Gis: 6.000 1.917 7.336 4.0348 0.075 0.002 73: A: 6.083 2.000 8.000 4.4000 0.069 0.002 74: B: 6.167 2.083 8.724 4.7982 0.063 0.002 75: H: 6.250 2.167 9.514 5.2325 0.058 0.002 76: C: 6.333 2.250 10.375 5.7061 0.053 0.001 77: Cis: 6.417 2.333 11.314 6.2225 0.049 0.001 78: D: 6.500 2.417 12.338 6.7857 0.045 0.001 79: Es: 6.583 2.500 13.454 7.3999 0.041 0.001 80: E: 6.667 2.583 14.672 8.0696 0.037 0.001 81: F: 6.750 2.667 16.000 8.8000 0.034 0.001 82: Fis: 6.833 2.750 17.448 9.5965 0.032 0.001 83: G: 6.917 2.833 19.027 10.4650 0.029 0.001 84: Gis: 7.000 2.917 20.749 11.4122 0.027 0.001 85: A: 7.083 3.000 22.627 12.4451 0.024 0.001 86: B: 7.167 3.083 24.675 13.5715 0.022 0.001 87: H: 7.250 3.167 26.909 14.7998 0.020 0.001 88: C: 7.333 3.250 29.344 16.1393 0.019 0.000
88番目の(7)の値は正しくは 0.00049...ですが表示桁の関係で四捨五入しています。
(4)から(7)までをグラフにしてみます。
(7)の1から28とそれまでに作成した芯線の傾き(5)の29から88までを合わせると ピアノのインハーモニシティが出来上がります。
別の方法もあります。ネイピア数(e)を使います。...(8)
y = 2.718, 7.389, 20.086, 54.598, 148.413, 403.429, 1096.633, 2980.958, 8103.084, 22026.466, 59874.142, 162754.791...
それをオクターブ(12)で1つづつ増加して、49番目で0になる様にします。...(9)
y = 0.018, 0.020, 0.022, 0.024, 0.026, 0.028, 0.030, 0.033, 0.036, 0.039, 0.042, 0.046, 0.050...
オクターブ(12)での変化量(傾き) log(2√2)を加えます。...(10)
e ^ log(√2) = 1.4142... e ^ log(2√2) = 2.8284...
傾きを logする事で e^log()は傾きの値そのものになります。
また(x - 49)/12は 49番目は 0, 61番目は 1...ですので
e ^ (2.8284 * 0) = 1.00, e ^ (2.8284 * 1) = 2.8284...となります。
y = 0.016, 0.017, 0.019, 0.020, 0.022, 0.024, 0.026, 0.029, 0.031, 0.034, 0.037, 0.041, 0.044...
そして 49番目の値を0.55にします。...(11)
y = 0.009, 0.009, 0.010, 0.011, 0.012, 0.013, 0.014, 0.016, 0.017, 0.019, 0.020, 0.022, 0.024...
巻線のマイナスの変化量を作ります。...(12)
y = 35.200, 32.279, 29.600, 27.143, 24.890, 22.824, 20.930, 19.193, 17.600, 16.139, 14.800, 13.571, 12.445...
巻線の数28番までとして 28番でのプラマイの比を取り出します。
= 0.026278
マイナス値にその比を加えます。...(13)
y = 0.925, 0.848, 0.778, 0.713, 0.654, 0.600, 0.550, 0.504, 0.462, 0.424, 0.389, 0.357, 0.327...
それらを表にしてみます。
key: (8) : (9) : (10): (11): (12) : (13)
----------------------------------------------
1: A: 2.718 0.018 0.016 0.009 35.200 0.925
2: B: 7.389 0.020 0.017 0.009 32.279 0.848
3: H: 20.086 0.022 0.019 0.010 29.600 0.778
4: C: 54.598 0.024 0.020 0.011 27.143 0.713
5: Cis: 148.413 0.026 0.022 0.012 24.890 0.654
6: D: 403.429 0.028 0.024 0.013 22.824 0.600
7: Es: 1096.633 0.030 0.026 0.014 20.930 0.550
8: E: 2980.958 0.033 0.029 0.016 19.193 0.504
9: F: 8103.084 0.036 0.031 0.017 17.600 0.462
10: Fis: (数) 0.039 0.034 0.019 16.139 0.424
11: G: (値) 0.042 0.037 0.020 14.800 0.389
12: Gis: (が) 0.046 0.041 0.022 13.571 0.357
13: A: (大) 0.050 0.044 0.024 12.445 0.327
14: B: (き) 0.054 0.048 0.027 11.412 0.300
15: H: (く) 0.059 0.053 0.029 10.465 0.275
16: C: (な) 0.064 0.057 0.032 9.596 0.252
17: Cis: (る) 0.069 0.062 0.034 8.800 0.231
18: D: (為) 0.076 0.068 0.037 8.070 0.212
19: Es: (省) 0.082 0.074 0.041 7.400 0.194
20: E: (略) 0.089 0.081 0.045 6.786 0.178
21: F: (以) 0.097 0.088 0.049 6.223 0.164
22: Fis: (下) 0.105 0.096 0.053 5.706 0.150
23: G: (同) 0.115 0.105 0.058 5.233 0.137
24: Gis: (じ) 0.125 0.115 0.063 4.798 0.126
25: A: xxxx 0.135 0.125 0.069 4.400 0.116
26: B: xxxx 0.147 0.136 0.075 4.035 0.106
27: H: xxxx 0.160 0.149 0.082 3.700 0.097
28: C: xxxx 0.174 0.162 0.089 3.393 0.089
29: Cis: xxxx 0.189 0.177 0.097 3.111 0.082
30: D: xxxx 0.205 0.193 0.106 2.853 0.075
31: Es: xxxx 0.223 0.210 0.116 2.616 0.069
32: E: xxxx 0.243 0.229 0.126 2.399 0.063
33: F: xxxx 0.264 0.250 0.137 2.200 0.058
34: Fis: xxxx 0.287 0.273 0.150 2.017 0.053
35: G: xxxx 0.311 0.297 0.164 1.850 0.049
36: Gis: xxxx 0.338 0.324 0.178 1.696 0.045
37: A: xxxx 0.368 0.354 0.194 1.556 0.041
38: B: xxxx 0.400 0.386 0.212 1.427 0.037
39: H: xxxx 0.435 0.420 0.231 1.308 0.034
40: C: xxxx 0.472 0.459 0.252 1.200 0.032
41: Cis: xxxx 0.513 0.500 0.275 1.100 0.029
42: D: xxxx 0.558 0.545 0.300 1.009 0.027
43: Es: xxxx 0.607 0.595 0.327 0.925 0.024
44: E: xxxx 0.659 0.648 0.357 0.848 0.022
45: F: xxxx 0.717 0.707 0.389 0.778 0.020
46: Fis: xxxx 0.779 0.771 0.424 0.713 0.019
47: G: xxxx 0.846 0.841 0.462 0.654 0.017
48: Gis: xxxx 0.920 0.917 0.504 0.600 0.016
49: A: xxxx 1.000 1.000 0.550 0.550 0.014
50: B: xxxx 1.087 1.091 0.600 0.504 0.013
51: H: xxxx 1.181 1.189 0.654 0.462 0.012
52: C: xxxx 1.284 1.297 0.713 0.424 0.011
53: Cis: xxxx 1.396 1.414 0.778 0.389 0.010
54: D: xxxx 1.517 1.542 0.848 0.357 0.009
55: Es: xxxx 1.649 1.682 0.925 0.327 0.009
56: E: xxxx 1.792 1.834 1.009 0.300 0.008
57: F: xxxx 1.948 2.000 1.100 0.275 0.007
58: Fis: xxxx 2.117 2.181 1.200 0.252 0.007
59: G: xxxx 2.301 2.378 1.308 0.231 0.006
60: Gis: xxxx 2.501 2.594 1.427 0.212 0.006
61: A: xxxx 2.718 2.828 1.556 0.194 0.005
62: B: xxxx 2.955 3.084 1.696 0.178 0.005
63: H: xxxx 3.211 3.364 1.850 0.164 0.004
64: C: xxxx 3.490 3.668 2.017 0.150 0.004
65: Cis: xxxx 3.794 4.000 2.200 0.137 0.004
66: D: xxxx 4.123 4.362 2.399 0.126 0.003
67: Es: xxxx 4.482 4.757 2.616 0.116 0.003
68: E: xxxx 4.871 5.187 2.853 0.106 0.003
69: F: xxxx 5.294 5.657 3.111 0.097 0.003
70: Fis: xxxx 5.755 6.169 3.393 0.089 0.002
71: G: xxxx 6.255 6.727 3.700 0.082 0.002
72: Gis: xxxx 6.798 7.336 4.035 0.075 0.002
73: A: xxxx 7.389 8.000 4.400 0.069 0.002
74: B: xxxx 8.031 8.724 4.798 0.063 0.002
75: H: xxxx 8.729 9.514 5.233 0.058 0.002
76: C: xxxx 9.488 10.375 5.706 0.053 0.001
77: Cis: xxxx 10.312 11.314 6.223 0.049 0.001
78: D: xxxx 11.208 12.338 6.786 0.045 0.001
79: Es: xxxx 12.182 13.454 7.400 0.041 0.001
80: E: xxxx 13.241 14.672 8.070 0.037 0.001
81: F: xxxx 14.392 16.000 8.800 0.034 0.001
82: Fis: xxxx 15.643 17.448 9.596 0.032 0.001
83: G: xxxx 17.002 19.027 10.465 0.029 0.001
84: Gis: xxxx 18.480 20.749 11.412 0.027 0.001
85: A: xxxx 20.086 22.627 12.445 0.024 0.001
86: B: xxxx 21.831 24.675 13.571 0.022 0.001
87: H: xxxx 23.728 26.909 14.800 0.020 0.001
88: C: xxxx 25.790 29.344 16.139 0.019 0.000
こちらも 88番目の(13)の値は正しくは 0.00049...ですが表示桁の関係で四捨五入しています。
又 88番目の(8)の値は 165163625499400180986996598802797821952.000 になります。
(8)から(13)までをグラフにしてみます。
(13)の1から28までと(11)の29から88までを合わせて出来上がりです。
結果が同じならどちらの式を使っても構わないかも知れません。
49(A)の値を一定にして 傾きを少しずつ変えた場合を見てみます。
最初の方です。
(変化の違いを見る為に極端な範囲を表しています。こちらは1で水平になります。)
eの方です。(こちらは 0で水平になります。)
傾きを変えようとする時、値の変化に対して素直に変わるのは eの方です。
ただそれが 経験値と(感覚的に)同じかどうかは分かりません。
ここまで巻線の値は グラフでは直線(Straight)的に変化するのみでしたが それ以外もあり得ます。
曲線(Curve)方式 cosh(ハイパーボリックコサイン)
を使用します。...(14)
そして Log方式。マイナスの対数(Log)
を使用します。...(15)
(14)の 1.2と (15)の 7は値の調整用の定数です。
又 0.087は(10)での傾き log(2√2)/12の値です。
Key: 直線 : (14): (15)
--------------------------
1: A: 0.925 0.741 0.673
2: B: 0.848 0.668 0.442
3: H: 0.778 0.603 0.346
4: C: 0.713 0.544 0.290
5: Cis: 0.654 0.491 0.253
6: D: 0.600 0.444 0.227
7: Es: 0.550 0.401 0.207
8: E: 0.504 0.362 0.191
9: F: 0.462 0.328 0.177
10: Fis: 0.424 0.297 0.166
11: G: 0.389 0.269 0.157
12: Gis: 0.357 0.244 0.149
13: A: 0.327 0.221 0.142
14: B: 0.300 0.202 0.136
15: H: 0.275 0.184 0.130
16: C: 0.252 0.168 0.125
17: Cis: 0.231 0.154 0.121
18: D: 0.212 0.142 0.117
19: Es: 0.194 0.131 0.113
20: E: 0.178 0.122 0.109
21: F: 0.164 0.114 0.106
22: Fis: 0.150 0.107 0.103
23: G: 0.137 0.101 0.100
24: Gis: 0.126 0.097 0.098
25: A: 0.116 0.094 0.096
26: B: 0.106 0.091 0.093
27: H: 0.097 0.090 0.091
28: C: 0.089 0.089 0.089
以上の様な巻線部分のインハーモニシティとなります。
参照＞Java 調律シミュレーター(Java Tuning Simulator)
参照＞巻線の調律シミュレーション(Tuning Simulation of Wound Wire)
参照＞インハーモニシティの傾き(Inharmonicity grade)