数値計算について (その8)
49A(440[Hz])の前後の短2度音程の周波数差を見ると
48: 415.3047 49: 440.0000 -> 24.6953[Hz] 50: 466.1638 -> 26.1638[Hz]
それを 100[cent]とすると 1[Hz]はだいたい 4[cent]ぐらいになります。
πを3.14ではなく3とする時代にあって,平均律半音の比率(12√2 = 1.0594631)
も省略したらどうでしょう?
以下は 220[Hz]に比率 xを変えて順次掛けて行った値です。
x = 1.0 : 1.05 : 1.059 : 1.0594: 1.05946: 1.059463: 1.0594631 ------------------------------------------------------------------------ 0 220.0000: 220.0000: 220.0000: 220.0000: 220.0000: 220.0000: 220.0000 1 220.0000: 231.0000: 232.9800: 233.0680: 233.0812: 233.0819: 233.0819 2 220.0000: 242.5500: 246.7258: 246.9122: 246.9402: 246.9416: 246.9417 3 220.0000: 254.6775: 261.2826: 261.5788: 261.6233: 261.6255: 261.6256 4 220.0000: 267.4114: 276.6983: 277.1166: 277.1794: 277.1825: 277.1826 5 220.0000: 280.7819: 293.0235: 293.5773: 293.6605: 293.6646: 293.6648 6 220.0000: 294.8210: 310.3119: 311.0158: 311.1215: 311.1268: 311.1270 7 220.0000: 309.5621: 328.6203: 329.4902: 329.6208: 329.6274: 329.6276 8 220.0000: 325.0402: 348.0089: 349.0619: 349.2201: 349.2280: 349.2282 9 220.0000: 341.2922: 368.5414: 369.7962: 369.9847: 369.9941: 369.9944 10 220.0000: 358.3568: 390.2854: 391.7621: 391.9840: 391.9951: 391.9955 11 220.0000: 376.2747: 413.3122: 415.0327: 415.2914: 415.3043: 415.3047 12 220.0000: 395.0884: 437.6976: 439.6857: 439.9846: 439.9995: 440.0000 ----------------------------------------------------------------------- A -220.0000: -44.9116: -2.3024: -0.3143: -0.0154: -0.0005: 0.0
A は 12回目(オクターブ)と 440[Hz]との差の値です。
1.0では周波数は 2倍にはなりませんが 1.0594の小数点以下第4桁ぐらいなら
何とか使えそうな値になります。
しかしそれから2倍・3倍・10倍音などを計算しようとすると それでは誤差が 出てしまいます。
それは表示桁数を小数点以下第4桁から第6桁までとすると 1.0594631でも完全な 0にはならなず,出来るだけ正確な計算には以下の 2＾(1/12)の様な精度のある値 が必要な事が分かります。(＾ は自乗の記号)
x = 1.0594631: 2＾(1/12) (1.059463094359...) ------------------------- 0 220.000000: 220.000000 1 233.081882: 233.081881 2 246.941653: 246.941651 3 261.625569: 261.625565 4 277.182637: 277.182631 5 293.664776: 293.664768 6 311.126994: 311.126984 7 329.627569: 329.627557 8 349.228246: 349.228231 9 369.994440: 369.994423 10 391.995457: 391.995436 11 415.304722: 415.304698 12 440.000028: 440.000000 ------------------------- A 0.000028: 0.0
それは12回だけではなく87鍵分の計算を行うとその誤差も大きくなります。
x = 1.059463: 1.0594631: 2＾(1/12)
-----------------------------------------
0: 27.5 : 27.5 : 27.5
〜 〜 〜
87: 4185.976610: 4186.010984: 4186.009045
-----------------------------------------
A -0.032435: 0.001944: 0.0
細かい事かも知れませんが(その4[cent]以下でうなりをどうこうしようと する身にとっては)...