チョコエッグを全種類揃えるには(コレクターの哀愁)

うちのKAMEさんは数学がだい嫌いである。苦手なものがあるのは人間しかたがないが、見るだけで拒絶反応が出て思考停止してしまうのは良くない。

数学が嫌いな人が言うに、「数学なんて知らなくても生活には困らない」「サインコサインなんの役にたつ」。そりゃ確かに困らないけど、そんなこと言うと、「学校で習うもの全て」知らなくても困らない。さらに言うと、サインコサインは、数学の本質(数学的概念)とはほとんど関係ないのだ。「会議が仕事で、設計製作は外注エンジニア」なんていう技術系サラリーマンもここにいる。

今、数学がわずかでも生活に役に立ちそうな実例を見つけたので発表しよう。

チョコエッグを全種類揃えるには?

ご存じ、チョコレートの卵の中に動物とかのおもちゃが入っているやつである。最近、おもちゃを作っているところと、チョコを作っているところがケンカしたらしいが、脇においておく。

チョコエッグにもいろいろなシリーズがあるが、ここでは、「WAKA」が収集しようとしている、「日本の動物」全12種類を考える。深海魚シリーズは考えない。

さて、本題。チョコエッグ、全12種類を揃えるには、チョコエッグを何個買えばよいか?

チョコエッグ12種類の指定席(現在は空席)を12個を考える。

• この指定席を1個目(種類(A〜L)はどうでも良い)を埋めるには、12/12個買えば良い。
• この指定席の2個目を埋めるには、、、?
  すでに、1席うまっているので、12回買ったら、そのうち1回は前のと同じのを買ってしまう。
  よって、期待値としては、12/11個買えばよい。
• この指定席の3個目を埋めるには、、、、、、(同様に) 12/10個買えばよい

では、この指定席を全て埋めるには、何個買えば良いかといえば、

12/12 + 12/11 + 12/10 + 12/9 + 12/8 + 12/7 + 12/6 + 12/5 + 12/4 + 12/3 + 12/2 + 12/1 =

私は計算が苦手なので、電卓で計算すると、37.23852813852813852813個買わなければなりません。

チョコエッグ1個250円とすると約9300円。。。ガキの遊びに大人が顔出すな、って感じでしょうか。

クラスには誕生日が同じ人がいる

同様の話に、クラスには誕生日が同じ人がいる、というのがあって、小学校での確率の時間で(最近は小学生は確率しないのか?)先生が良く使うネタなのだ。KAMEさんは知らなかったので紹介しておく。

ちなみに、自分と誕生日が同じ人がクラスにいる、ということではない。私は12/31日生まれなんだが、まだ誕生日が同じ人は知らない。

• 一人目のAさんの誕生日がある。
• 二人目のBさんの誕生日が、Aさんと同じ確率は 364/365。
• (AさんとBさんの誕生日が違ったとして、)三人目のCさんの誕生日が、AさんかBさん同じ確率は (364/365)×(363/365)。
• (三人目までの誕生日がみんな違ったとして、)四人目のDさんの誕生日が、AさんかBさんかCさん同じ確率は (364/365)×(363/365)×(362/365)。

それでは、クラス40人の誕生日が全てことなる確率は、

1-{ (365/365)×(364/365)×(363/365)×(362/365)×(361/365)×...×(326/365)}
= 1-{(365!)/((365^40)((365-40)!))}
= 0.8912318098

昔の、50人学級だったころは、ほぼ95%以上だったのにね。

他にも似たようなことを、もっと高度に考えている人がいました(フィードバッ クフォームでタレコミいただいた)。